A sakktábla második fele: így lesz a kevésből óriási szám
Egy sakktábla első mezőjére egy szemet teszünk, a másodikra kettőt, a harmadikra négyet, majd mindig duplázunk. A 31. mezőre már 1 073 741 824 szem jut. Az elején aprónak látszó sorozatot ugyanaz a szabály viszi ekkorára.
A mező sorszáma és a duplázások száma eltér
Az első mezőn még nem történt duplázás: ott 1, vagyis 2 a nulladikon áll. A másodikon 2, a harmadikon 4, az n-ediken 2^(n−1) szem található. A 11. mező ezért 1024 szemet kap, a 21. pedig 1 048 576-ot.
A sorszám eltolása gyakori hiba. Ha a 10. mezőre 1024-et írsz, már egy lépéssel előrébb jársz. Ellenőrzésként olvasd végig az első néhány tagot: 1, 2, 4, 8, 16. Az ötödik mezőn négy duplázás eredménye áll.
Egy mező mennyisége és az addigi összeg
Az első négy mező összege 1 + 2 + 4 + 8 = 15. Általánosan az első n mezőn összesen 2^n − 1 szem van. A 32. mező önmagában 2 147 483 648 szemet tartalmaz, az első 32 mező együtt 4 294 967 295-öt.
Az utolsó hozzáadott mezőn mindig eggyel több szem van, mint az összes korábbin együtt. Ezért erős félreértés a folyamat közepét a végső összeg felének tekinteni. A mezők felét bejárva a végső mennyiségnek még nagyon kis részénél tartunk.
Mi történik a 64. mezőn?
A 64. mezőn 9 223 372 036 854 775 808 szem áll. A teljes táblán 18 446 744 073 709 551 615 szem lenne. Ezek egész darabszámok, a képletből következnek. Nem becslést közlünk a világ gabonatermeléséről, és nem állítjuk, hogy a mennyiség fizikailag elhelyezhető volna a táblán.
Tömegre csak további feltételezéssel lehetne átváltani: meg kellene adni egy szem átlagos tömegét. Tárolási térfogathoz még a halmaz sűrűsége és a szemek közötti hézag is számítana. A hatalmas darabszám nem jogosít fel tetszőleges fizikai összehasonlításra.
A duplázódás üteme legalább olyan fontos, mint a kezdőérték
Ha valami minden lépésben duplázódik, tíz lépés után 1024-szeresére nő. Az induló érték tízszerezése ehhez képest csak tízszeres végső értéket ad ugyanannyi lépés alatt. A növekedési tényező és a lépések száma másként hat a képletben.
A számtani szabály korlátlanul folytatható, de a valóságban a hely, az anyag, a kereslet vagy más erőforrás határt szabhat. A sakktábla történetét ezért gondolatkísérletként kezeljük. Egy vállalkozás vagy befektetés jövőbeli duplázódására nem bizonyíték.
A példák és a források
A számpéldák saját, szemléltető feladatok; a megadott feltételezésekből és képletekből újraszámolhatók. Valós vállalkozásra, országos statisztikára vagy jövőbeli eredményre nem vonatkoznak.
Négy kérdés a cikkhez
A válaszokból kiderül, melyik összefüggést érted már, és melyik részt érdemes újraolvasnod. A válaszokat és a pontszámot nem mentjük.
