Esélyek és meglepetések · 3 perc olvasás
Miért elég 23 ember egy meglepő születésnapi egyezéshez?
Egy 23 fős csoportban a születésnapi egyezés meglepően valószínű a szokásos egyszerűsített modellben. A kérdés itt az, hogy bármely két ember ünnepel-e ugyanazon a napon. Ez lényegesen több lehetőség, mint a saját születésnapodhoz keresni párt.
Ebben a cikkben
Előbb az egyezés hiányát számoljuk
Tegyük fel, hogy 365 lehetséges nap van, mindegyik egyformán valószínű, és a születésnapok egymástól függetlenek. A szökőnapot kihagyjuk. Két embernél annak esélye, hogy különböző napra esik a születésnapjuk, 364 / 365.
A harmadik embernek már 363 szabad nap marad, ha az első kettő különbözött. Három embernél az összes különböző születésnap esélye ezért (364 / 365) × (363 / 365). Az egyezés valószínűségét úgy kapjuk meg, hogy ezt kivonjuk egyből.
A 23 ember mögött 253 pár áll
Huszonhárom embernél az eltérő születésnapok esélye a 365/365, 364/365 és így tovább, 343/365 tényezők szorzata. Ez körülbelül 0,4927. Legalább egy egyezés esélye tehát körülbelül 50,73%. Huszonkét főnél még csak körülbelül 47,57%.
A csoportban 23 × 22 / 2 = 253 különböző pár van. Ez segít megérteni a sok találkozási lehetőséget, de a 253 / 365 osztás nem ad pontos valószínűséget. Az egyes páregyezések átfedhetnek: például hárman is ünnepelhetnek ugyanazon a napon.
A saját születésnapod egészen más kérdés
Ha a 23 fős csoportban a saját napodhoz keresel egyezést, csak a másik 22 ember számít. Annak esélye, hogy egyikük sem azon a napon született, (364 / 365) a huszonkettedik hatványon. Az egyezés esélye így körülbelül 5,86%.
A több mint ötven százalékos érték bármely párra vonatkozott. Az öt-hat százalék egy előre kijelölt emberhez keres párt. Valószínűségi állításnál a keresett esemény pontos megfogalmazása legalább annyira fontos, mint a számológép használata.
A valós csoport eltérhet a modelltől
A tényleges születésnapok eloszlása nem tökéletesen egyenletes, és egy csoport összetétele is számíthat. Ikrek vagy tudatosan azonos születésnapú emberek kiválasztása például sérti a függetlenség feltételezését. Az 50,73% ezért a leírt modell eredménye.
Még a modellben sem garantált az egyezés 23 embernél. Ötven főnél körülbelül 97,04% az esély, de a bizonyosság más fogalom. A feladat azt tanítja meg, hogyan számoljunk legalább egy találatot a találat nélküli esetekből, és hogyan kerüljük az átfedések többszöri számolását.
A példák és a források
A számpéldák saját, szemléltető feladatok; a megadott feltételezésekből és képletekből újraszámolhatók. Valós vállalkozásra, országos statisztikára vagy jövőbeli eredményre nem vonatkoznak.
Négy kérdés a cikkhez
A válaszokból kiderül, melyik összefüggést érted már, és melyik részt érdemes újraolvasnod. A válaszokat és a pontszámot nem mentjük.
